Музыкальное образование получил в Киевском музыкальном училище.
В ходе собирательской деятельности Квитка собрал свыше 6000 украинских, русских, белорусских и других народных песен.
С 1920 года — член фольклорной комиссии АН СССР и профессор Музыкально-драматического института имени Н.В. Лысенко в Киеве.
В 1922—1933 годах возглавлял Кабинет музыкальной этнографии АН УССР.
С 1933 года являлся профессором Московской консерватории, с 1937 года — основателем и руководителем Кабинета по изучению музыкального творчества народов СССР.
Климент Квитка — автор многих теоретических работ, посвященных украинскому музыкальному фольклору.
Ему принадлежат также труды по изучению народных музыкальных инструментов, учебные и методические пособия.
Работы:

Народні мелодії з голосу Лесі Українки. Ч. 1—2, 1917—1918;

Українські народні мелодії (1922);

Ритмічні паралелі в піснях слов'янських народів (1923);

Професіональні народні співці і музиканти на Україні (1924);

Пісні українських зимових обрядових свят (початок 1940-х рр.);

Квитка К.В. Избранные труды. В 2 т. Т. 1 / Сост. и коммент. В.Л. Гошовского. — Москва: Сов. композитор, 1971. — 384 с.;

Квитка К.В. Избранные труды. В 2 т. Т. 2 / Сост. и коммент. В.Л. Гошовского. — Москва: Сов. композитор, 1973. — 424 с.;

Квітка К.В. Вибрані статті. Ч. 1, 1985. Ч. 2, 1986;

Квитка К.В. Музыкльный фольклор и музыкальная фольклористика на Кавказе: (Из рукописного наследия ученого) / Сост. и коммент. В.Л. Гошовского. — Ереван: Арчеш, 2001. — 92 с.
Награжден двумя орденами, а также медалями.
Умер 19 сентября 1953 года в Москве.
Википедия (укр.)
Енциклопедiя Сучасної України
Музыкальная энциклопедия
Віталій Жежера «Обидві дружини Климентія Квітки померли у 42 роки»