В 1901 году окончил Киевскую духовную академию, в которой руководил хором.
Музыкальное образование получил в Музыкально-драматической школе Н.В. Лысенко в Киеве (занимался по классу теории композиции у Г.Л. Любомирского), где также руководил хором.
В 1908—1917 гг. возглавлял хор студентов Киевского университета, в 1913 году — хоровой класс в Киевской консерватории.
В 1912—1916 гг. — дирижёр украинской оперной труппы Н.К. Садовского.
В 1916—1917 гг. — дирижёр и хормейстер в Киевском оперном театре.
В 1917 году при участии Кошица был создан Первый украинский национальный хор, в 1919 году — Украинская республиканская капелла, с которой в 1919 году уехал за границу.
Выступал с концертами в Европе и Америке.
Александр Кошиц — автор многочисленных обработок украинских народных песен.
Из его произведений издано 6 выпусков украинских народных песен, сборники колядок, веснянок.
Ему принадлежат статья о Н.В. Лысенко (в сборнике «Корифеи украинской сцены», 1901) и 2 тома воспоминаний (изданы в Канаде).
Умер 21 сентября 1944 года в Виннипеге (Канада).
в 1991 году в Киеве именем композитора была названа улица.
12 сентября 2000 года в специализированной школе № 296, расположенной на улице Кошица, был открыт музей Александра Кошица.
Сын — Дмитрий Александрович Кошиц (1902—1943), летчик-испытатель.
Енциклопедiя Сучасної України
Википедия (укр.)
«Послужить вере православной...» 130 лет со дня рождения Александра Кошица