Родился в семье простых крестьян, где было 14 детей.
Окончив пять классов школы и рабочий факультет при Кубанском медицинском институте, в 1936—1941 гг. — учился на лечебном факультете этого вуза, по окончании которого был направлен хирургом в Читинскую область. Там Шалимов получил большой опыт в хирургии, поскольку занимался оперированием раненых.
По окончании Великой Отечественной войны стажировался в крупнейших клиниках СССР.
С 1949 года — заведующий хирургическим отделением Брянской областной больницы вместе с Н.М. Амосовым.
С 1952 по 1953 год — ассистент в Курском мединституте, а затем главным хирургом Брянской области.
В 1959—1970 гг. — хирург и главный врач в больницах Харькова, преподавал на кафедре факультетской хирургии Харьковского мединститута.
С 1970 года — в Киевском институте усовершенствования врачей, с 1972 года — директор Киевского научно-исследовательского института клинической и экспериментальной хирургии.
Шалимов ввёл новые методы операций при заболеваниях органов пищеварения, сердца, онкологических заболеваниях, провёл около 40 тысяч операций.
Александр Шалимов стал первым врачом, который провёл удачную пересадку поджелудочной железы больному диабетом, разработал и внедрил новые методы операций при онкологических заболеваниях, а также органов пищеварения, сосудов, сердца.
Под руководством Шалимова была проведена первая на Украине операция по пересадке сердца.
В 1998 году решением Международной палаты американского биографического института признан Человеком планеты.
Автор более 830 научных работ и 112 изобретений, создал в Украине два научно-исследовательских института в Харькове и Киеве.
Награждён двумя орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, двумя орденами Трудового Красного Знамени, полный кавалер ордена «За заслуги» (1993, 1998, 1999), медалями СССР, а также орденами и медалями иностранных государств.
Умер 28 февраля 2006 года в Киеве, похоронен на Байковом кладбище.
Именем ученого назван институт, который он основал в Киеве.
14 февраля 2014 года в Киеве у входа в Государственное учреждение «Национальный институт хирургии и трансплантологии имени А.А. Шалимова» НАМН Украины открыт памятник А.А. Шалимову, а в здании института — мемориальная комната его имени.
Википедия
Сайт «Герои страны»
Сайт Байкового кладбища