С детства проявил выдающиеся способности к математике.
В 1912 году поступил в Киевский университет. Начиная со второго курса посещал семинары профессора
Д.А. Граве по теории аналитических и алгебраических функций. Со временем составил собственное сочинение на эту тему и доказал арифметическую теорему монодромии.
В 1915 году из-за войны университет переехал в Саратов, здесь Чеботарёв сближается с
Б.Н. Делоне, одним из лучших учеников Граве. В 1916 году оставлен при университете для приготовления к профессорскому званию, которое получил в 1918 году.
В 1918—1921 гг. состоял приват-доцентом при университете, а также занимался преподавательской работой в Киевских ВУЗах.
В 1921 году уехал к родителям в Одессу, где продолжил свои исследования.
В 1927 году получил назначение в Казанский университет на должность заведующего кафедрой математики.
В 1932 году выступал на Всемирном конгрессе математиков в Цюрихе с докладом, посвящённым столетию со дня смерти Эвариста Галуа.
В годы Великой Отечественной войны пытался уйти добровольцем на фронт, но был оставлен в тылу, где занимался исследованиями вибрации стволов морских орудий при выстреле.
За результаты работ дважды выдвигался в кандидаты на соискание Сталинской премии, но получил её только посмертно (Сталинская премия первой степени (1948) за монографию «Проблемы резольвент»).
Награжден орденом Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени.
Николай Чеботарёв создал в Казани Казанскую алгебраическую школу, среди учеников, например, Наум Мейман.
В 1945 году стал первым директором Казанского физико-технического института АН СССР. Однако проработал на этой должности всего год.
Умер после тяжёлой операции 2 июля 1947 года в Москве.
ВикипедияМатематический институт им. В.А. Стеклова РАН