Младший брат теннисистки Натальи Медведевой.
В 1996 году окончил Украинский университет физического воспитания и спорта.
Начал играть в теннис в десятилетнем возрасте.
В первое время ему помогала в этом мать, Светлана, профессиональный теннисный тренер, также тренировавшая его сестру Наталью. Отчим Андрея, Юрий Черепов, был его первым постоянным тренером.
Свой первый матч в профессиональном турнире Андрей провёл в 16 лет на Кубке Кремля в Москве.
В конце 1990 года он первенствовал в престижном юниорском турнире Orange Bowl, а в 1991 году выиграл Открытый чемпионат Франции среди юношей. В сентябре того же года он дошёл до полуфинала турнира Ассоциации теннисистов-профессионалов (ATP) в Женеве, где в первом круге переиграл тридцатую ракетку мира, действующего олимпийского чемпиона Марка Россе.
Андрей Медведев — победитель 11 турниров, проводимых под эгидой Ассоциации теннисистов-профессионалов (АТР), финалист Открытого чемпионата Франции 1999 года, неоднократный полуфиналист и четвертьфиналист турниров «Большого шлема», четырехкратный победитель турниров АТР (в Гамбурге в 1994, 1995 и 1997 гг. и в Монте-Карло, 1994), а также финалист и четвертьфиналист турниров серии Мастерс. В мае 1994 года занимал 4-е место в мировой классификации (в одиночном разряде).
В 1995 году Андрей Медведев возглавлял благотворительный фонд АТР.
В 2002 году избран Послом доброй воли Украины при ООН. В этом качестве он участвовал в акции «Пробег ради жизни» в Киеве в сентябре 2002 года, направленной на сбор денег для борьбы со СПИДом.
В 2004 году избран президентом Федерации тенниса Украины, а в 2006 году стал почётным президентом Федерации тенниса Украины. В 2009 году он создал и возглавил Украинский теннисный союз.
Википедия
Официальный сайт Андрея Медведева
Сайт Федерации тенниса Украины