В 1937 году поступил на службу в чехословацкую армию.
В марте 1939 года принимал участие в боях в ходе словацко-венгерского конфликта.
В 1939 году, после оккупации земель Чехии немецкой армией эмигрировал в Польшу и затем, с началом Второй мировой войны,в составе отдельного чехословацкого легиона перешёл в Советский Союз.
В феврале 1942 года вступил в 1-й отдельный чехословацкий батальон, сформированный из чехословацких добровольцев под командованием полковника Людвика Свободы.
В марте 1943 года принял боевое крещение в первом бою чехословацкого батальона против немецких войск у села Соколова Змиёвского района Харьковской области.
Командир роты танков Т-70 танкового батальона 1-й отдельной чехословацкой пехотной бригады в составе 51-го стрелкового корпуса 38-й армии 1-го Украинского фронта подпоручик Рихард Тесаржик особо отличился в боях за Киев 5 ноября 1943 года.
Когда 1-я отдельная чехословацкая пехотная бригада начала наступление на украинскую столицу, около 16 часов командир 2-го батальона попросил оказать ему помощь танками. Командиру роты танков Т-70 подпоручику Р. Тесаржику по рации был отдан приказ — атаковать юго-западную окраину Сырецких лагерей, на окраине города. Используя поддержку танков и введя в бой резерв, командир 2-го батальона предпринял обходный манёвр слева и атаковал противника с тыла.
В результате совместных усилий танковой роты Р. Тесаржика и резерва 2-го батальона при поддержке артиллерийской батареи, уничтожившей огнём прямой наводки несколько огневых точек, к 17 часам удалось сломить сопротивление противника и в этом районе. Таким образом, левый фланг чехословацкой бригады также выполнил поставленную перед ним задачу, что, в свою очередь, создало возможность для дальнейшего продвижения её левого соседа — 931-го стрелкового полка 240-й стрелковой дивизии.
Овладев в 18 часов кинофабрикой и стремительно продвинувшись вдоль Житомирской улицы, рота танков Т-70 подпоручика Р. Тесаржика с одним танком Т-34 и взводом автоматчиков прорвалась к центру города Киева и уже в 19 часов вышла к пассажирскому вокзалу Киев-1, где встретила упорное сопротивление противника. В завязавшемся бою чехословацкие танкисты совместно с автоматчиками 2-го батальона и взводом сапёрной роты к 20:00 овладели вокзалом и спасли от разрушения мост и другие железнодорожные объекты.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 декабря 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1693).
В сентябре 1944 года был тяжело ранен, потерял левый глаз.
После войны продолжал службу в Чехословацкой народной армии (ЧНА).
В 1949 году окончил Военную академию бронетанковых и механизированных войск в Москве.
В декабре 1953 года был арестован и осуждён к 9 месяцам лишения свободы за утрату секретных документов. В августе 1954 года освобождён и восстановлен в ЧНА.
Служил на командных должностях.
В 1959 году направлен на учёбу в Военную академию ГШ ВС СССР в Москву. Однако в 1960 году за многочисленные появления в нетрезвом виде и антипартийные высказывания по требованию советской стороны отозван в Прагу. Непосредственным поводом стала драка на банкете с офицером Национальной народной армии ГДР, которого Р. Тесаржик обозвал фашистом.
В ноябре 1960 года исключён из Коммунистической партии Чехословакии и уволен из ЧНА.
До 1966 года работал диспетчером автобусной станции, инженером по безопасности в компании AVIA-Letňany.
Умер 27 марта 1967 года, похоронен в Праге.
Сайт «Герои страны»