Боксом начал заниматься у заслуженного тренера СССР Бориса Андреева, продолжил под руководством заслуженного тренера СССР и Украины Михаила Завьялова.
С 1961 по 1973 год выступал за ждановское ДСО «Авангард», с 1973 по 1982 год — за ЦСКА.
На ринге выступал во 2-м среднем весе, где в то время сконцентрировалось большое количество сильных бойцов — таких, как Вячеслав Лемешев, Руфат Рискиев, Юозас Юоцявичус. В связи с этим, в интересах команды на международной арене переходил в другие категории.
В 1973 году Анатолий Климанов выиграл чемпионат Европы в 1-ом среднем весе до 71 кг, а в 1975-ом — в полутяжелом до 81 кг. На предварительной стадии на Летних Олимпийских играх 1976 года в Монреале Климанов уступил будущему победителю турнира Леону Спинксу из США, прославившемуся впоследствии на профессиональном ринге победой в феврале 1978 года над Мохаммедом Али (Кассиусом Клеем).
Отличался хорошей выносливостью и высоким темпом ведения боя, умело использовал защитные действия и сам активно контратаковал.
Окончил Киевский институт физической культуры.
Работал тренером сборной команды Украины.
В 1989 году стал тренировать боксёров-профессионалов. В 1993 году был приглашен на работу по контракту с олимпийской сборной командой Югославии.
С 1995 года тренировал боксёров-профессионалов Киевской профессиональной ассоциации бокса и кикбоксинга TIKO.
Последние 20 лет проработал в спортивном обществе «Гарт».
Умер 2 марта 2009 года от инсульта в Киеве, похоронен на Совском кладбище.
Википедия
Легенды советского спорта