Отец — врач А.И. Иванов. Фамилию Меженко унаследовал от деда со стороны матери (Иванова-Меженко), архитектора.
Окончил Черниговскую классическую Александровскую гимназию в 1912 году, затем историко-филологический факультет Московского университета в 1917 году.
В 1918 году переехал в Киев, где в следующем году стал первым директором Киевской книжной палаты, затем председателем совета Всеукраинской библиотеки при Академии наук республики. В то же время увидели свет его первые значительные труды «Международная десятичная библиографическая классификация» (1919) и «Практическое руководство по библиотековедению» (1923).
В 1922—1931 гг. возглавлял Украинский научно-исследовательский институт книговедения, был редактором журнала «Бiблiологiчни вiстi».
С 1934 по 1945 год руководил научно-библиографической деятельностью в Государственной публичной библиотеке им. М.Е. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде (ныне РНБ).
С 1945 года — директор Библиотеки Академии наук УССР.
В 1964 году опубликовал библиографию сочинений Т.Г. Шевченко, создал уникальную, всемирно известную коллекцию произведений украинского поэта.
Юрий Меженко — автор свыше 150 работ по различным отраслям книговедения, библиографии, литературоведения. Создал собственную библиографическую школу и заложил основы изучения отечественной периодики и библиографии.
Умер 21 ноября 1969 года в Киеве, похоронен на Байковом кладбище.
Википедия (укр.)